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परिमेय संख्या क्या होती है? | परिभाषा | गुणधर्म

नमस्कार दोस्तों इस लेख में हम जानेंगे कि परिमेय संख्या किसे कहते हैं? परिमेय संख्याओं के गुणधर्म क्या-क्या होते है? तथा इससे जुड़े हुए अनेक तथ्यों के बारे में जानेंगे।

परिमेय संख्या की परिभाषा

जिन संख्याओं को हम p/q के रूप में व्यक्त कर सकते हैं उन संख्याओं को परिमेय संख्या कहते हैं। उदाहरण – 1, 2, 3…….सभी प्राकृतिक संख्याएं। 1/2, 2/4, 4/2, 7/8………. सभी भिन्न। √4, √9, √100, √16, √36, √25………. सभी पूर्ण वर्ग संख्याएं।

एक पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक ( 0 के अलावा) से भाग देने पर जो लघुतम प्राप्त हो उन्हें परिमेय संख्या (rational number) कहते है

परिमेय संख्या क्या होती है  परिभाषा  गुणधर्म
परिमेय संख्या क्या होती है परिभाषा गुणधर्म

परिमेय संख्याओं के गुणधर्म

परिमेय संख्याओं के गुणधर्म निम्नलिखित होते हैं –

क्रमविनमेयता का गुणधर्म

परिमेय संख्याओं के क्रमविनमेयता के गुणधर्म को चार भागों में विभाजित किया गया है –

योग –

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a+b = b+a) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं दो परिमेय संख्याओं (2, 4) को लेते हैं तो,

2+4 = 6 तथा 4+2 = 6

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं क्रमविनमेयता का गुण योग के लिए सत्य है। क्योंकि a + b = b + a

व्यकलन –

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a-b = b-a) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं दो परिमेय संख्याओं (2, 4) को लेते हैं तो,

2 – 4 = (-2) तथा 4 – 2 = 2

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं क्रमविनमेयता का गुण व्यकलन के लिए असत्य है। क्योंकि a – b ≠ b – a

गुणन –

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a × b = b × a) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं दो परिमेय संख्याओं (2, 4) को लेते हैं तो,

2 × 4 = 8 तथा 4 × 2 = 8

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं क्रमविनमेयता का गुण गुणन के लिए सत्य है। क्योंकि a × b = b × a

भाग –

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a ÷ b = b ÷ a) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं दो परिमेय संख्याओं (2, 4) को लेते हैं तो,

2 ÷ 4 = 1/2 तथा 4 ÷ 2 = 2

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं क्रमविनमेयता का गुण भाग के लिए असत्य है। क्योंकि a ÷ b b ÷ a

साहचार्यता का गुणधर्म

योग

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a + b) + c = a + (b+a) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं (2, 4, 6) को लेते हैं तो,

(2 + 4) + 6 = 6 + 6 = 12 तथ 2 + (4 + 6) = 2 + 10 = 12

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं साहचार्यता का गुण योग के लिए सत्य है। क्योंकि (a + b) + c = a + (b + c)

व्यकलन

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a – b) – c = a – (b – c) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं दो परिमेय संख्या (2, 4, 6) को लेते हैं तो,

(2 – 4) – 6 = -2 – 6 = (-8) तथा 2 – (4 – 6) = 2 – 10 = (-8)

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं साहचार्यता का गुण व्यकलन के लिए सत्य है। क्योंकि (a – b) – c = a – (b – c)

गुणन

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a × b) × c = a × (b × c) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं दो परिमेय संख्या (2, 6, 4) को लेते हैं तो,

2 × 4 × 6 = 8 × 6 = 48 तथा 2 × 4 × 6 = 2 × 24 = 48

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं साहचार्यता का गुण गुणन के लिए सत्य है। क्योंकि (a × b) × c = a × (b × c)

भाग

परिमेय संख्या के इस गुणधर्म को (a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c) के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अब हम किन्हीं दो परिमेय संख्या (2, 4) को लेते हैं तो,

2 ÷ 4 ÷ 6 = 1/2 ÷ 6 = 1/12 तथा 2 ÷ 4 ÷ 6 = 2 ÷ 2/3 = 6/2 = 3

अत: हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्याओं साहचार्यता का गुण भाग के लिए असत्य है। क्योंकि (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)

महत्वपूर्ण बिंदु

  • परिमेय संख्याएँ योग व्यवकलन और गुणन की सक्रियाओं के अंतर्गत संवृत हैं।
  • परिमेय संख्याओं के लिए योग और गुणन को सक्रियाएँ ( i ) क्रमविनिमेय है। ( ii ) साहचर्य है।
  • परिमेय संख्याओं के लिए परिमेय संख्या शून्य योज्य तत्समक है।
  • परिमेय संख्याओं के लिए परिमेय संख्या गुणनात्मक तत्समक है।
  • परिमेय संख्याका योज्य प्रतिलोम ” है और बिलामतः भी सत्य है।
  • परिमेय संख्याओं की वितरकता परिमेय संख्याएँ के लिए सत्य है।
  • परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है।
  • दो हुई दो परिमेय संख्याओं के मध्य अपरिमित परिमय संख्याएँ होती है।

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