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घन और घनमूल कैसे ज्ञात करते हैं?

नमस्कार दोस्तों इस लेख में हम जानेंगे कि संख्याओं का घन और घनमूल कैसे ज्ञात किया जाता है? तथा किसी घन संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात किया जाता है? तथा इससे जुड़े हुए अनेक तथ्यों के बारे में जानेंगे।

घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें?

“घन” शब्द ज्यामिति का शब्द है जिसमें घन एक ऐसी आकृति होती है जिसकी सभी भुजाएं समान माप की होती हैं। इसका आयतन (भुजा)³ होता है।

कुछ संख्याओं (जैसे 1,8,27,64…..) पर विचार कीजिए, इस प्रकार की संख्याओं को पूर्ण घन (Perfact cubes) या घन संख्याएं कहलाती हैं।

किसी संख्या का घन ज्ञात करने के लिए उस संख्या को उसी संख्या से तीन बार गुणा करके प्राप्त किया जाता है। 1 से 10 तक की संख्याओं का घन निम्नलिखित तालिका में दिये गए हैं –

संख्या संख्या का घन
11 × 1 × 1 = 1
22 × 2 × 2 = 8
33 × 3 × 3 = 27
44 × 4 × 4 = 64
55 × 5 × 5 = 125
66 × 6 × 6 = 216
77 × 7 × 7 = 343
88 × 8 × 8 = 512
99 × 9 × 9 = 729
1010 × 10 × 10 = 1000
संख्या का घन

घनमूल कैसे ज्ञात करें?

जैसा कि हम जानते हैं कि वर्गमूल ज्ञात करना, वर्ग ज्ञात करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया होती है उसी प्रकार घनमूल ज्ञात करना, घन ज्ञात करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया से की जाती है। उदाहरण – जैसा कि 2 का घन 8 है। अर्थात 2³ = 8 इसी प्रकार 8 का घनमूल 2 होगा। अर्थात ³√8 = 2.

घनमूल को निम्नलिखित तालिका द्वारा समझा जा सकता है –

संख्याओं का घनसंख्याओं का घनमूल
1³ = 1³√1 = 1
2³ = 8³√8 = 2
3³ = 27³√27 = 3
4³ = 64³√64 = 4
5³ = 125³√125 = 5
6³ = 216³√216 = 6
7³ = 343³√343 = 7
8³ = 512³√512 = 8
9³ = 729³√729 = 9
10³ = 1000³√1000 = 10
संख्याओं का घन और घनमूल

घन संख्या का घन और घनमूल कैसे ज्ञात करते हैं?

यदि यह ज्ञात है कि दी हुई संख्या एक घन संख्या है, तो उसका घनमूल कैसे ज्ञात करते हैं इसको एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं।

उदाहरण – एक घन संख्या 857375 का घनमूल ज्ञात कीजिए?

हल – घन संख्या 857375 के सबसे दाईं ओर के अंक से प्रारंभ करते हुए , तीन – तीन अंकों के समूह बनाते हैं। दी हुई घन संख्या का घनमूल एक चरणबद्ध प्रक्रिया द्वारा आकलित करते हैं।

चरण 1 – यहाँ हमें तीन अंकों के दो समूह 375 और 857 प्राप्त हुए हैं । पहला समूह ‘ 375 ’ आपको वांछित घनमूल के इकाई का अंक देगा। संख्या 375 का अंतिम ( इकाई का ) अंक 5 है ।

चरण 2 – हम जानते हैं कि 5 किसी संख्या के इकाई के स्थान पर तब आता है जब उसके घनमूल के इकाई का अंक 5 होता है । इस प्रकार हमें घनमूल के इकाई का अंक 5 प्राप्त होता है । अब दूसरे समूह 857 को लीजिए | हम जानते हैं कि, 729 < 857 < 1,000 हम छोटी संख्या 729 के इकाई के अंक को वांछित घनमूल के दहाई के अंक के रूप में लेते हैं । ³√857375 = 95 प्राप्त होता है। अतः ³√857375 = 95

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा घनमूल ज्ञात करना –

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा घनमूल ज्ञात करना आसान होता है इस विधि में पहले संख्या के अभाज्य गुणखण्ड किया जाता है। तथा इसके बाद 3 – 3 के जोड़े बनाने हैं। इस प्रकार संख्या का घनमूल ज्ञात हो जाता है। इस विधि को उदाहरण की सहायता से समझते हैं।

उदाहरण – 3375 का घनमूल ज्ञात कीजिए?

हल – सर्वप्रथम 3375 के अभाज्य गुणखण्ड करने पर,

3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 या 3³ × 5³ = (3 × 5)³ = 15³

अत: ³√3375 = 15

महत्वपूर्ण बिंदु

  • संख्याएँ , जैसे कि 1729 , 4104 , 13832 हार्डी – रामानुजन संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें दो घनों के योग के रूप में दो भिन्न प्रकारों से व्यक्त किया जा सकता है।
  • एक संख्या को स्वयं से ही तीन बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या घन संख्या कहलाती है। उदाहरणार्थ 1 , 8 , 27 इत्यादि।
  • यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड तीन बार आता है , तो वह संख्या एक पूर्ण घन होती है।
  • संकेत ‘ अ ‘ घनमूल को व्यक्त करता है। उदाहरणार्थ , ³√27 = 3 है।

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