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10th class 1.4 exercise solution (real number) वास्तविक संख्याएं।

1.5 परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण
कक्षा IX में, आपने यह पढ़ा है कि परिमेय संख्याओं के या तो सांत दशमलव प्रसार (terminating decimal expansions) होते हैं या फिर असांत आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार होते हैं। इस अनुच्छेद में हम एक परिमेय संख्या, मान लीजिए P – (9 +0) पर विचार करेंगे तथा यथार्थ रूप से इसकी खोज करेंगे कि P का दशमलव प्रसार कब सांत होगा और कब असांत आवर्ती होगा। हम ऐसा कुछ उदाहरणों द्वारा करेंगे।

(iv) 23.3408

(iii) 0.087

(ii) 0.104

(i) 0.375.

अब (i) 0.375 = 375 1000 875 10000 375 103 875 104 (iii) 0.0875

(ii) 0.104 = 104 104 1000 103 (iv) 23.3408 = 233408 10000 233408 104

जैसा कि कोई आशा करेगा, इन सभी को ऐसी परिमेय संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनका हर 10 की कोई घात होगा। आइए अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड को काट कर यह देखने का प्रयत्न करें कि हमें क्या प्राप्त होता है।

103 23×53 23 875 104 7 24 x 5 = (iii) 0.0875: =

(ii) 0.104= 104 13× 23 = 103 23×53 53 233408_22 × 7×521 104 54 (iv) 23.3408 = red

(i) 0.375= = 375 3 x 53 3 = = क्या आप यहाँ कोई प्रतिरूप देख रहे हैं? ऐसा प्रतीत होता है कि हमने उस वास्तविक संख्या को जिसका दशमलव प्रसार एक सांत दशमलव है, एक P के रूप की परिमेय संख्या में बदल लिया है, जहाँp और q सहअभाज्य हैं तथा हर ( अर्थात् g ) में केवल 2 की घातें या 5 की घातें या दोनों की घातें हैं। हमें हर इसी प्रकार का दिखना चाहिए, क्योंकि 10 की घातों में केवल 2 और 5 की घातें ही गुणनखंड के रूप में होंगी।

यद्यपि हमने कुछ कम ही उदाहरण हल करके देखे हैं, फिर भी आप देख सकते हैं कि कोई भी वास्तविक संख्या, जिसका दशमलव प्रसार सांत है, एक ऐसी परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त की जा सकती है जिसका हर 10 की कोई घात है। साथ ही 10 के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 ही हैं। अतः अंश और हर में से उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काटकर, हम ज्ञात करते हैं कि यह वास्तविक संख्या 2 के रूप की एक ऐसी परिमेय संख्या है, जहाँ का हैं। अभाज्य गुणनखंडन 25 के रूप का है तथा n और m कोई ऋणेतर (non-negative) पूर्णांक हैं ।। 212 आइए अपने परिणाम को औपचारिक रूप से लिखें:

प्रमेय 1.5 : मान लीजिए एक ऐसी परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार सांत है। तब को P के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और 4 सहअभाज्य हैं तथा अभाज्य गुणनखंडन 25 के रूप का है, जहाँ n. m कोई ऋणेतर पूर्णांक हैं। 4 का

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