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10th board exam important chapter -real number (वास्तविक संख्याएं)

भूमिका – कक्षा 9 में अपने वास्तविक संख्याओं की खोज प्रारंभ की और इस प्रक्रिया से आपको अपरिमेय संख्याओं को जानने का अवसर मिला इस अध्याय में हम वास्तविक संख्याओं के बारे में अपनी चर्चा जारी रखेंगे , धनात्मक पूर्णांकों के दो अति महत्वपूर्ण गुणों से प्रारंभ करेंगे उन्हें विभाजन एल्गोरिथ्म (euclids division algorithm) और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (fundamental theorem of algorithm)

एल्गोरिथ्म सुपरिभाषित चरणों की एक श्रृंखला होती हैं, जो एक विशेष प्रकार की समस्या को हल करने की एक प्रक्रिया या विधि प्रदान करती है

वास्तविक संख्याएं( real number)– ”वे संख्याएं जिनका वास्तविक मान हो और जिन्हें संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है, वास्तविक संख्याएं कहलाती है।” या, परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्याओं के संग्रह को वास्तविक संख्या कहते हैं वास्तविक संख्याओं के संग्रह को R से सूचित किया जाता है जैसे- √2, 2/3, -7, -3/7, 0………….

यूक्लिड विभाजन प्रमेय (Euclid’s division lemma) – दो धनात्मक पूर्णांक और भी दिए रहने पर ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएं क्यों और आर विद्यमान हैं कि a = bq + r, 0 < r > b हैं । इस परिणाम की जानकारी संभवत: बहुत पहले समय से थी, परंतु लिखित रूप में इस का सर्वप्रथम उल्लेख यूक्लिड एलिमेंट्स ( Euclid’s Elements) की पुस्तक में किया गया! यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म कलन विधि इसकी प्रेमिका (Lemma) पर आधारित है

इस परिणाम की जानकारी संभवत बहुत पहले समय से थी परंतु लिखित रूप में इस का सर्वप्रथम उल्लेख यूक्लिड एलिमेंट्स की पुस्तक में किया गया यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म कलन विधि इसकी प्रेमिका पर आधारित है

एल्गोरिथ्म सुपरिभाषित चरणों की एक श्रृंखला होती हैं, जो एक विशेष प्रकार की समस्या को हल करने की एक प्रक्रिया या विधि प्रदान करती है।

शब्द ‘एल्गोरिथम’ 9वीं शताब्दी के एक फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज़मी के नाम से लिया गया है। वास्तव में, शब्द ‘एलजबरा’ (Algebra) भी इन्हीं की लिखित पुस्तक ‘हिसाब अल-ज़बर वा अल मुकाबला’ से लिया गया है।

प्रमेयिका एक सिद्ध किया हुआ कथन होता है और इसे एक अन्य कथन को सिद्ध करने में प्रयोग करते हैं।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF परिकलित करने की एक संकेत HCF तकनीक है। आपको याद होगा कि दो धनात्मक पूर्णांकों और b का HCF वह सबसे बड़ उदाहरण 1 पूर्णांक d है, जो a और 6 दोनों को (पूर्णतया) विभाजित करता है।

H.c.f = दो संख्याओं का गुणनफल/ L.c.m

———— Example————

आइए सबसे पहले के उदाहरण ले कर देखें कि यह एल्गोरिथ्म किस प्रकार कार्य करता है मान लीजिए हमें पूर्णांकों 455 और 42 का एचसीएफ ज्ञात करना है हम बड़े पूर्णांक 455 से प्रारंभ करते हैं तब यूक्लिड प्रेमेयेका से हमें प्राप्त होता है 455 बराबर 42 ×10 + 35

अब भाजक 42 और शेषफल 35 लेकर यूक्लिड प्रमिका का प्रयोग करके हमें प्राप्त होता है. 42= 35×1+7

अब भाजक 35 और शेषफल 7 को लेकर यूक्लिड प्रमेय का का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है। 35=7 × 5+0

ध्यान दीजिए कि यहां शेषफल 0 आ गया है तथा हम आगे कुछ नहीं कर सकते हम कहते हैं कि इस स्थिति वाला भाजक अर्थात साथ ही 455 और 42 का एचसीएफ है आप इसकी सत्यता की जांच 455 और 42 के सभी गुणनखंड को लिखकर कर सकते हैं यह विधि इस प्रकार कार्य करती है

प्रश्नावली (exercise)1.1

प्र.1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये |

(i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255

हल:

(1) 135 और 225

a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है}

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq+r (तब )

225 135 x1 +90

135 90×1+45

90 = 45 x 2 + 0 {जब हमें 10 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते

है}

b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है; }

HCF = 45

हल:

(ii) 196 और 38220

a = 38220, b = 196 (सबसे बड़ी संख्या को तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है)

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bg+r (तब)

38220- 196 ×1950 (जब हमें r 0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद

कर देते है }

b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है,)

HCF = 196

हल:

(iii) 867 और 255

a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब )

38220 = 196 × 195 + 0 { जब हमें 10 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

HCF = 196

CIL

b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;} HCF= 196

प्र. 2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6 + 1, या 6q +3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है |

हल:

दर्शाना है: a 6q + 1, 6q+3 या 6q+5

माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है, जहाँ b = 6 होगा,

जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;

जहाँ 0≤r <b

यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है ।

शेषफल होगा 1 या 3 या 5

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;

a6g+1, 6q+3 या 6q+5

प्र०3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है । दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है । उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है ?

हल:

स्तंभों की अधिकतम संख्या HCF (616, 32)

a = 616, b = 32 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है।

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

616 = 32 × 19 + 8 (जब हमें 10 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद करें देते है }

32 =8×4+0

b = 8 {b का मान HCF होता है}

HCF = 8

इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8

a2=9q2 or 9q2+6q+1 or 9q2+ 12q + 4

– a 2-9q2 or 9q2+6q+1 or 9q2+12q+3+1

a2=3(3q2) or 3(3q2+2q) + 1 or 3(3q2 + 4q + 1) +1 aft m=(3q2) or (3q2+2q) or (3q2+4q + 1) atat हम पाते है कि ;

2 a • = 3m or 3m + 1 or 3m + 1

प्र05. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धन पूर्णाक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

हल:

माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;

युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;

a = bg + r जहाँ; 0sr<b

b = 9 रखने पर

a = 9q + r जहाँ; 0 ≠r < 9

जब r = 0 हो;

a = 9q + 0 = 9q

a 3 = (9q) 3 = 9(81q3) या 9m जहाँm = 81q 3

प्र04. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है ।

हल

दर्शाना है: a 2 = 3m or 3m + 1

a = bq + r

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0sr < 3

तब a = 3g + 1 कुछ पूर्णाक के लिए 20

इसलिए, a = 3 +0 or 3q + 1 or 3q + 2

अब हम पाते है;

2-(30) 2 or (3+ 112 or (3a+212)

जब r = 1 हो

a=9q+1

a 3 = (9q+1)3=9(81q3+27q2+3q) +1

=9m +1 67m=81q3+27q2 +3q

जब r = 2 हो तो

a=9q+2

a 3 = (9q+2)3=9(81q3+54q2+12q) +8

=9m+25m=81q3+54q2+12q

अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m,

9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है

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